Archives de catégorie : mathématiques

OPÉRATEURS: 3) Rotationnel

Quand on parle de la divergence, le rotationnel n’est pas loin et vice versa

Soit un vecteur \(\vec{V} \) tel que

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
Vx \\
Vy \\
Vz \end{pmatrix}
\)

alors

\( \vec{ROT}\vec{V}= (\frac {\partial Vz} {\partial y }-
\frac {\partial Vy} {\partial z }   ) \vec{ex}+
(\frac {\partial Vx} {\partial z }-
\frac {\partial Vz} {\partial x}   ) \vec{ey}+
(\frac {\partial Vy} {\partial x }-
\frac {\partial Vx} {\partial y }   ) \vec{ez}
\)

pas simple à se rappeler

OPÉRATEURS: 2) Gradient

Le gradient peut paraitre assez proche de la divergence dans l’expression mais ce n’est pas pareil pour autant; il s’applique davantage à des champs et son résultat est un vecteur.

Soit un champ f(M) alors

\( \vec {Gradf}=
\frac {\partial f} {\partial x } \vec{ex}+
\frac {\partial f}{\partial y} \vec{ey}+
\frac {\partial f}{\partial z} \vec{ez}
\)

on parle souvent de gradient de température

Opérateurs: 1) Divergence

Avant d’aborder des choses amusantes en physique, il y a quelques notions mathématiques à appréhender, je vais commencer ici par la divergence

Soit un vecteur \(\vec{V} \) tel que

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
Vx \\
Vy \\
Vz \end{pmatrix}
\)

alors

\( Div \vec{V}= \frac {\partial Vx} {\partial x }
+ \frac {\partial Vy}{\partial y}
+ \frac {\partial Vz}{\partial z}
\)

Pour rappel: \(  \frac {\partial Vx} {\partial x }\) signifie la dérivée partielle de Vx par rapport à x.

exemple:

si  Vx= 2x+3y alors

\(  \frac {\partial Vx} {\partial x }=2 \)

 


exemple de divergence:

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
2x²+3x \\
2z / (x²+\sqrt(x))\\
2x+4y+2/3z+1 \end{pmatrix}
\)

ce qui nous donne :

\( Div \vec{V}= 4x+2/3
\)

ça n’ a pas l’air de servir à grand chose comme ça mais pourtant  c’est tres utile, notamment en éléctromagnétisme


on rencontre aussi l’opérateur nabla tel que

\(\vec{\nabla} =\begin{pmatrix}
\frac {\partial } {\partial x } \\
\frac {\partial }{\partial y}\\
\frac {\partial }{\partial z} \end{pmatrix}
\)

on fait ici un produit scalaire entre nabla et V pour obtenir la divergence de V

\( \vec {\nabla} .\vec{V} = Div \vec{V}
\)

 

Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: un exemple

Cet article se refère à    Changements de systèmes de coordonnées   et     Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires.

Je note en gras les vecteurs.

Prenons un champ de vecteur v  défini en coordonnées sphériques (r,φ ,θ) tel que v= r² er + r

Quelle est l’expression de ce champ en coordonnées cylindriques (ρ,φ,z) ?

Grace à notre matrice récapitulative ( Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires.), nous pouvons écrire que

v=r² (cosθ+sin θ) + r (cosθ-sin θ) ez

puis en rappelant les égalités décrites ici Changements de systèmes de coordonnées  

v=  z( ρ+z) eρ +( z-ρ) ez

Changements de systèmes de coordonnées

nb: je note les vecteurs en gras ici

Coordonnées cartésiennes:

En coordonnées cartésiennes, une coordonnée s’écrit, en fonction des vecteurs unitaires sous la forme du vecteur r tel que : r(x,y,z)= x ex+ y ey+ z ez 

En cylindriques, les coordonnées se transforment ainsi

x= ρ cos φ
y=  ρ sin φ
z = z

avec un système de coordonnées local ,eφ  et ez

En sphériques, les coordonnées se transforment ainsi

x= r sinθ cos φ
y=  r sinθ  sin φ
z = r  cosθ

avec un système de coordonnées local er,eφ  et

Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires

L’idée ici est de donner un récapitulatif de la matrice de passage d’un système de coordonnés à l’autre pour les vecteurs unitaires de chaque système.

Coordonnées cartésiennes:

ici les vecteurs unitaires sont x,y,z.

 

Coordonnées cylindriques:

ici les vecteurs unitaires sont eρ, ez, et e φ

Coordonnées sphériques:

ici les vecteurs unitaires sont er, eθ, et eφ

La matrice générale:

 

Coordonnees spheriques

Maintenant qu on a tout bien compris les bases de la trigonometrie, on va voir les coordonnées polaires (le sud au sud et le nord au nord ? la pole dance ?  il fait froid, ou est ma polaire?).

Alors il y a plusieurs  systèmes de coordonnées qui ne sont pas exprimes par un systeme de vecteurs orthonormes x,y,z: les sphériques, les cylindriques et les polaires sont celles qui vont nous intéresser.

Polaires:

Les polaires, c est le plus simple: c est sur le plan, on a un angle et une distance, en resume r, et θ. On se situe sur un cercle: r est le rayon du cercle et θ est l angle entre le rayon du cercle et le x du repere choisi.

Cylindriques

Les cylindriques cest les polaires + une dimension spatiale: le celebre z. La on a donc: x, θ et z!

Pour passer de coordonnees cartesiennes a cylindriques

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\z&=z\end{aligned}}

Sphériques

Les spheriques, ca continue en 3D mais on exprime les coordonnees suivant θ et φ : φ c est l angle entre Ox et le point H projeté orthogonal de M (notre point a localiser) dans le plan xy, pour  θ,  c est la meme chose pour l angle entre Oz et OM (nomme aussi colatitude). 

A noter que si tu es physicien ou matheux, les notations θ et φ sont inversees.