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Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: un exemple

Cet article se refère à    Changements de systèmes de coordonnées   et     Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires.

Je note en gras les vecteurs.

Prenons un champ de vecteur v  défini en coordonnées sphériques (r,φ ,θ) tel que v= r² er + r

Quelle est l’expression de ce champ en coordonnées cylindriques (ρ,φ,z) ?

Grace à notre matrice récapitulative ( Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires.), nous pouvons écrire que

v=r² (cosθ+sin θ) + r (cosθ-sin θ) ez

puis en rappelant les égalités décrites ici Changements de systèmes de coordonnées  

v=  z( ρ+z) eρ +( z-ρ) ez

Changements de systèmes de coordonnées

nb: je note les vecteurs en gras ici

Coordonnées cartésiennes:

En coordonnées cartésiennes, une coordonnée s’écrit, en fonction des vecteurs unitaires sous la forme du vecteur r tel que : r(x,y,z)= x ex+ y ey+ z ez 

En cylindriques, les coordonnées se transforment ainsi

x= ρ cos φ
y=  ρ sin φ
z = z

avec un système de coordonnées local ,eφ  et ez

En sphériques, les coordonnées se transforment ainsi

x= r sinθ cos φ
y=  r sinθ  sin φ
z = r  cosθ

avec un système de coordonnées local er,eφ  et

Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques: matrice de transformation des vecteurs unitaires

L’idée ici est de donner un récapitulatif de la matrice de passage d’un système de coordonnés à l’autre pour les vecteurs unitaires de chaque système.

Coordonnées cartésiennes:

ici les vecteurs unitaires sont x,y,z.

 

Coordonnées cylindriques:

ici les vecteurs unitaires sont eρ, ez, et e φ

Coordonnées sphériques:

ici les vecteurs unitaires sont er, eθ, et eφ

La matrice générale:

 

Coordonnees spheriques

Maintenant qu on a tout bien compris les bases de la trigonometrie, on va voir les coordonnées polaires (le sud au sud et le nord au nord ? la pole dance ?  il fait froid, ou est ma polaire?).

Alors il y a plusieurs  systèmes de coordonnées qui ne sont pas exprimes par un systeme de vecteurs orthonormes x,y,z: les sphériques, les cylindriques et les polaires sont celles qui vont nous intéresser.

Polaires:

Les polaires, c est le plus simple: c est sur le plan, on a un angle et une distance, en resume r, et θ. On se situe sur un cercle: r est le rayon du cercle et θ est l angle entre le rayon du cercle et le x du repere choisi.

Cylindriques

Les cylindriques cest les polaires + une dimension spatiale: le celebre z. La on a donc: x, θ et z!

Pour passer de coordonnees cartesiennes a cylindriques

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\z&=z\end{aligned}}

Sphériques

Les spheriques, ca continue en 3D mais on exprime les coordonnees suivant θ et φ : φ c est l angle entre Ox et le point H projeté orthogonal de M (notre point a localiser) dans le plan xy, pour  θ,  c est la meme chose pour l angle entre Oz et OM (nomme aussi colatitude). 

A noter que si tu es physicien ou matheux, les notations θ et φ sont inversees.

Notation differentielle

La notation différentielle est souvent utilisée en physique, c est une manière de considérer les variations infimes d une quantité.

La difference entre x et x+Ɛ est infime et notée ∆x.

On considère la différence entre f(x) et f(x+Ɛ) avec Ɛ très petit. notons la ∆f.

Par definition, il existe une fonction e telle que:

f(x+Ɛ)= f(x) +  Ɛ f'(x) +Ɛ e(Ɛ)

or f(x+Ɛ)- f(x) est ∆f,  ∆x est Ɛ, donc 

∆f= ∆x f'(x) +Ɛ e(Ɛ)

si on considere Ɛ negligeable, on a ∆f= ∆x f'(x) +Ɛ e(Ɛ)  (c est la marge d erreur)

soit f'(x)    ≈ ∆f/∆x qu on note f'(x)= df/dx

donc df n est pas la derivee de f , pas plus que dx n est la derivee de x.

Pour ma part, n etant pas habitue a cette notation, j etais surpris par des operations ou je voyais un  dx se comporter comme une operante en pensant voir la derivee de x, ce n est pas ca!

 

 

 

 

Trigonométrie #4: derivees

quelques dérivées a connaitre:

 

sin’ α = cos α et cos ‘ α = – sin α  . pour se rappeler, on pense sinus   = simple = cos, et cos = complique = Moins sinus

je reviendrais un jour sur la démonstration

pour la tangente, c est plus simple

on sait que pour f = u/v, la dérivée f ‘ est  (u’v – uv’)/v², donc comme la tangente = sin/cos on a:

tan ‘ x

= (sin ‘ * cos  – sin * cos ‘)/  cos ²

= cos * cos – sin *(- sin) / cos ²

= cos ²/ cos ² + sin ²/ cos ²

= 1 + (sin/cos)² d ou

tan ‘ x= 1 + tan ²x

 

voir aussi:

Trigonométrie #1: SOHCAHTOA

Trigonométrie #2: Le cercle trigonometrique

Trigonométrie # 3: arc sinus

 

 

 

 

 

Trigonométrie #2: Le cercle trigonometrique

On a envie de continuer?

Apres le SOHCAHTOA, voici une autre façon amusante de faire de la trigonométrie:

On prend un cercle de centre O et de rayon 1 dans lequel on trace une droite OA faisant un angle α avec OI et coupant notre cercle en A. Le point A a pour coordonnées x et y, projetées sur OI et OJ.

Et bien, crois le ou pas, mais les coordonnées x,y de A sont respectivement cos α  (Ox) et sin α (Oy)

La tangente est donnée par IB ( L angle OIB est rectangle en I).

Comment on montre ca?
cos α = Ox  <=>  cos α = cote ajdjacent/hypoténuse= Ox/OA
Or OA =1  ( c est le rayon de notre cercle).
Pour le sinus, on a sin α = Oy.
Et pour la tangente, on arrive Ax/Ay=Oppose/Adjacent=sin α/ cos α.

Prendre la tangente

A propos de la tangente,tu te rappelles notre ami Thales? Il nous dit (enfin c est pas vraiment lui mais il  a gagne ca pour la postérité). que comme d après notre dessin ci dessus, Ax et BI sont parallèles et coupent le triangle alors on a les égalités suivantes:  OA/OB=Ox/OI=Ax/BI.
qu on peut réécrire ainsi sous forme de sinus,cosinus et tangente  en ne reprenant que  Ox/OI=Ax/BI:
cos α/ OI = sin α / tan α et comme OI vaut 1 par définition, on a
cos α/ 1 = sin α / tan α <=>  tan α = sin α/ cos α.

Pythagore

on a aussi: cos^2 α+ sin ^ 2  α= 1, car d apres notre ami Pythagore : OA^2 = Ax ^ 2 + Ay ^ 2 avec OA  = 1