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Coordonnees spheriques

Maintenant qu on a tout bien compris les bases de la trigonometrie, on va voir les coordonnées polaires (le sud au sud et le nord au nord ? la pole dance ?  il fait froid, ou est ma polaire?).

Alors il y a plusieurs  systèmes de coordonnées qui ne sont pas exprimes par un systeme de vecteurs orthonormes x,y,z: les sphériques, les cylindriques et les polaires sont celles qui vont nous intéresser.

Polaires:

Les polaires, c est le plus simple: c est sur le plan, on a un angle et une distance, en resume r, et θ. On se situe sur un cercle: r est le rayon du cercle et θ est l angle entre le rayon du cercle et le x du repere choisi.

Cylindriques

Les cylindriques cest les polaires + une dimension spatiale: le celebre z. La on a donc: x, θ et z!

Pour passer de coordonnees cartesiennes a cylindriques

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\z&=z\end{aligned}}

Sphériques

Les spheriques, ca continue en 3D mais on exprime les coordonnees suivant θ et φ : φ c est l angle entre Ox et le point H projeté orthogonal de M (notre point a localiser) dans le plan xy, pour  θ,  c est la meme chose pour l angle entre Oz et OM (nomme aussi colatitude). 

A noter que si tu es physicien ou matheux, les notations θ et φ sont inversees.

Les lois de Newton

La base de la physique sur notre planete et dans l univers juste avant qu Albert E, le celebre moustachu n y jette le trouble

3 lois pour les gouverner tous:

  • principe d inertie

« Tout corps isolé qui n’est pas soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme  qu’il possédait auparavant »

 

  • Principe Fondamental de la Dynamique

« Dans un référentiel d’inertie, la vitesse d’un point matériel varie proportionnellement à la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées et inversement proportionnellement à sa masse ».
Ce qui est la version longue, je prefere la formule:

ΣFExt = m*dv/dt

  • action reaction

« les actions réciproques, ou action et réaction, sont des forces colinéaires, d’intensité égale et de sens contraire »

(la souvent, ca revient a la reaction du support, celle qui evite qu on s enfonce dans le sol, ce qui est pratique).

Notation differentielle

La notation différentielle est souvent utilisée en physique, c est une manière de considérer les variations infimes d une quantité.

La difference entre x et x+Ɛ est infime et notée ∆x.

On considère la différence entre f(x) et f(x+Ɛ) avec Ɛ très petit. notons la ∆f.

Par definition, il existe une fonction e telle que:

f(x+Ɛ)= f(x) +  Ɛ f'(x) +Ɛ e(Ɛ)

or f(x+Ɛ)- f(x) est ∆f,  ∆x est Ɛ, donc 

∆f= ∆x f'(x) +Ɛ e(Ɛ)

si on considere Ɛ negligeable, on a ∆f= ∆x f'(x) +Ɛ e(Ɛ)  (c est la marge d erreur)

soit f'(x)    ≈ ∆f/∆x qu on note f'(x)= df/dx

donc df n est pas la derivee de f , pas plus que dx n est la derivee de x.

Pour ma part, n etant pas habitue a cette notation, j etais surpris par des operations ou je voyais un  dx se comporter comme une operante en pensant voir la derivee de x, ce n est pas ca!

 

 

 

 

Trigonométrie #4: derivees

quelques dérivées a connaitre:

 

sin’ α = cos α et cos ‘ α = – sin α  . pour se rappeler, on pense sinus   = simple = cos, et cos = complique = Moins sinus

je reviendrais un jour sur la démonstration

pour la tangente, c est plus simple

on sait que pour f = u/v, la dérivée f ‘ est  (u’v – uv’)/v², donc comme la tangente = sin/cos on a:

tan ‘ x

= (sin ‘ * cos  – sin * cos ‘)/  cos ²

= cos * cos – sin *(- sin) / cos ²

= cos ²/ cos ² + sin ²/ cos ²

= 1 + (sin/cos)² d ou

tan ‘ x= 1 + tan ²x

 

voir aussi:

Trigonométrie #1: SOHCAHTOA

Trigonométrie #2: Le cercle trigonometrique

Trigonométrie # 3: arc sinus

 

 

 

 

 

Trigonométrie #2: Le cercle trigonometrique

On a envie de continuer?

Apres le SOHCAHTOA, voici une autre façon amusante de faire de la trigonométrie:

On prend un cercle de centre O et de rayon 1 dans lequel on trace une droite OA faisant un angle α avec OI et coupant notre cercle en A. Le point A a pour coordonnées x et y, projetées sur OI et OJ.

Et bien, crois le ou pas, mais les coordonnées x,y de A sont respectivement cos α  (Ox) et sin α (Oy)

La tangente est donnée par IB ( L angle OIB est rectangle en I).

Comment on montre ca?
cos α = Ox  <=>  cos α = cote ajdjacent/hypoténuse= Ox/OA
Or OA =1  ( c est le rayon de notre cercle).
Pour le sinus, on a sin α = Oy.
Et pour la tangente, on arrive Ax/Ay=Oppose/Adjacent=sin α/ cos α.

Prendre la tangente

A propos de la tangente,tu te rappelles notre ami Thales? Il nous dit (enfin c est pas vraiment lui mais il  a gagne ca pour la postérité). que comme d après notre dessin ci dessus, Ax et BI sont parallèles et coupent le triangle alors on a les égalités suivantes:  OA/OB=Ox/OI=Ax/BI.
qu on peut réécrire ainsi sous forme de sinus,cosinus et tangente  en ne reprenant que  Ox/OI=Ax/BI:
cos α/ OI = sin α / tan α et comme OI vaut 1 par définition, on a
cos α/ 1 = sin α / tan α <=>  tan α = sin α/ cos α.

Pythagore

on a aussi: cos^2 α+ sin ^ 2  α= 1, car d apres notre ami Pythagore : OA^2 = Ax ^ 2 + Ay ^ 2 avec OA  = 1

 

 

 

Trigonométrie #1: SOHCAHTOA

La trigonométrie, tu te souviens ?
Voici quelques rappels que je trouve bien utiles.

 

Une façon de calculer les angles est de partir d un triangle rectangle  ABC, dont on veut connaitre les mesures de l angle α, et d utiliser l incantation  « SOHCAHTOA ».

Cad ? de l iroquois ?

Mais non, c est juste un moyen mnémotechnique qui nous aide a nous rappeler comment calculer, ainsi

  • Sinus α = Oppose/Hypoténuse  donc  CB/AC
  • Cosinus α=adjacent/Hypoténuse  donc AB/AC
  • Tangente α=Oppose/Adjacent donc CB/AB

Groupe

Un groupe est un couple forme de G un ensemble et . un opérateur, on le note (G,.) ou parfois simplement G

Un groupe doit avoir les propriétés suivantes pour tous x,y,z de G:

  •   Associatif  (x.y).z=x.(y.z)
  •   Élément neutre €     x.€ = x
  •   Inverse noté y <=> x^-1 tel que x.y=€
Groupe abélien ou commutatif
   On ajoute la commutativite x.y=y.x
Pour des informations plus amusantes, je vous envoie a Podcast Sciences