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OPÉRATEURS: 3) Rotationnel

Quand on parle de la divergence, le rotationnel n’est pas loin et vice versa

Soit un vecteur \(\vec{V} \) tel que

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
Vx \\
Vy \\
Vz \end{pmatrix}
\)

alors

\( \vec{ROT}\vec{V}= (\frac {\partial Vz} {\partial y }-
\frac {\partial Vy} {\partial z }   ) \vec{ex}+
(\frac {\partial Vx} {\partial z }-
\frac {\partial Vz} {\partial x}   ) \vec{ey}+
(\frac {\partial Vy} {\partial x }-
\frac {\partial Vx} {\partial y }   ) \vec{ez}
\)

pas simple à se rappeler

Opérateurs: 1) Divergence

Avant d’aborder des choses amusantes en physique, il y a quelques notions mathématiques à appréhender, je vais commencer ici par la divergence

Soit un vecteur \(\vec{V} \) tel que

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
Vx \\
Vy \\
Vz \end{pmatrix}
\)

alors

\( Div \vec{V}= \frac {\partial Vx} {\partial x }
+ \frac {\partial Vy}{\partial y}
+ \frac {\partial Vz}{\partial z}
\)

Pour rappel: \(  \frac {\partial Vx} {\partial x }\) signifie la dérivée partielle de Vx par rapport à x.

exemple:

si  Vx= 2x+3y alors

\(  \frac {\partial Vx} {\partial x }=2 \)

 


exemple de divergence:

\(\vec{V}\begin{pmatrix}
2x²+3x \\
2z / (x²+\sqrt(x))\\
2x+4y+2/3z+1 \end{pmatrix}
\)

ce qui nous donne :

\( Div \vec{V}= 4x+2/3
\)

ça n’ a pas l’air de servir à grand chose comme ça mais pourtant  c’est tres utile, notamment en éléctromagnétisme


on rencontre aussi l’opérateur nabla tel que

\(\vec{\nabla} =\begin{pmatrix}
\frac {\partial } {\partial x } \\
\frac {\partial }{\partial y}\\
\frac {\partial }{\partial z} \end{pmatrix}
\)

on fait ici un produit scalaire entre nabla et V pour obtenir la divergence de V

\( \vec {\nabla} .\vec{V} = Div \vec{V}
\)